Через реестр
Windows Registry Editor Version 5.00

[HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\CurrentControlSet\services\NlaSvc\Parameters\Internet]
"EnableActiveProbing"=dword:00000000

[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Policies\Microsoft\Windows\NetworkConnectivityStatusIndicator]
"NoActiveProbe"=dword:00000001

[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Policies\Microsoft\Windows\Network Connections]
"NC_DoNotShowLocalOnlyIcon"=dword:00000001
Через групповые политики

Редактор локальных групповой политики –> Локальный Компьютер –> Административные шаблоны -> Система -> Управление связью через Интернет -> Параметры связи через Интернет

Ищем параметр

«Отключить активное зондирование для индикатора состояние сетевого подключения» – Включить

Изменить значение остальных параметров можно тут:

Редактор локальных групповой политики –> Локальный Компьютер –> Административные шаблоны –> Сеть –> Индикатор состояния сетевого подключения

«Адрес DNS сервера организации, который используется для проверки» «Имя сайта DNS сервера организации, который используется для проверки» и т.д.

Все эти параметры можно отредактировать и назначить для проверки какой-нибудь внутренний сервер в локальной сети. Но я этот вопрос рассматривать не буду.

Чтобы убрать значок идем:

Редактор локальных групповой политики –> Локальный Компьютер –> Административные шаблоны –> Сеть –> Сетевые подключения

Меняем значение параметра на включить

«Не показывать значок сети только локальный доступ» – Включить